Intro
La dilatation du temps est lié au facteur de Lorentz. Ce dernier est un facteur,
c'est-à-dire un coefficient multiplicateur dont on fait le produit avec un autre facteur donné.
Quand un objet est en mouvement, certaines de ses propriétés peuvent changer au cours de son
évolution.
C'est-à-dire, que :
- Le temps
- Les longueurs
- La masse (relativiste) - non étudiée dans cet article
sont des valeurs qui peuvent changer ou se modifier dans les équations mécaniques d'évolutions
du mobile ainsi étudié.
Le facteur de Lorentz est couramment noté \(\Large\gamma\) (lettre grec gamma).
On le note : $$ {\displaystyle \gamma ={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}} $$
Ici \(c\) représente la vitesse de la lumière dans le vide. Elle vaut ici 299 792 458 m/s.
On peut cependant l'écrire autrement :
\(\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\)
Ici \(v\) représente la vitesse relative du mobile ainsi étudié.
Cette vitesse n'est pas une vitesse absolue.
Elle peut donc varier.
Aussi, elle est calculée à partir de la vitesse du mobile en cours de mouvement mais aussi par rapport
à un autre point possible (ou par rapport à un autre référentiel, lui aussi possible).
On peut aussi définir une variable \(\beta\), nommée vitesse réduite.
\(\displaystyle \beta={v/c}\)
Cette vitesse réduite est donc un rapport (une fraction) entre la vitesse relative du mobile et ceci avec la célérité.
La dilatation du temps et la contraction des longueurs sont deux notions liées mathématiquement.
En effet Lorentz utilise son fameux facteur \(\gamma\) en imaginant deux référentiels
\({\mathcal{R}}\) et \({\mathcal{S}}\) dont le nombre d'axes est équivalent (c'est-à-dire en trois dimensions).
Les référentiels en question peuvent être décrits comme des systèmes de coordonnées possibles :
\({\mathcal{R}}\) = \((x, y, z, t)\)
et
\({\mathcal{S}}\) = \((x', y', z', t')\)
Ici \(x\) peut ne pas valoir \(x'\). En effet, il s'agit de deux coordonnées différentes mais pourtant en rapport avec un seul mobile (on parle d'évènement ou point d'espace-temps).
Donc pour expliquer plus en avant, la dilatation du temps implique la contraction des longueurs.
Et ce mécanisme s'explique en effet par le fait que le facteur de Lorentz \(\gamma\) vient
faire un produit d'un décalage des coordonées du mobile selon l'autre référentiel.
Et ce dernier procédé est équivalent aux coordonnées du premier référentiel.
\({\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\end{aligned}}}\)
On peut noter aussi, que si l'on fusionne les deux référentiels, \({\mathcal{R}} = \mathcal{S}\).
On obient alors une relation, avec le facteur de Lorentz, qui est ici non relativiste.
Ici \((x, y, z, t) = (x', y', z', t')\)
Alors on a :
$$ {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x-vt\right)\end{aligned}}} \iff {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma t -\gamma {\frac {vx}{c^{2}}}\\x&=\gamma x -\gamma {vt}\end{aligned}}} \iff {\displaystyle {\begin{cases}\begin{aligned}0&=\gamma{\frac {vx}{c^{2}}}\\0&=\gamma {vt}\end{aligned}\end{cases}}} $$
$$ \iff $$
$$ \gamma{\frac {vx}{c^{2}}} = \gamma {vt} \iff {{\frac {x}{c^{2}}} = {t}} $$
$$ \iff $$
$$ \color{red} {c^{2} = {\frac {x}{t}}} \iff \color{red} {c = \sqrt{{\frac {x}{t}}}} $$
Ici visiblement la vitesse de la lumière \(c\) n'est pas une constante dans la dernière équation.
En effet elle dépend du temps \(t\) (la date où l'on se trouve) et du mouvement dans l'espace \(x\) du mobile.
$$ {c(x, t) = \sqrt{{\frac {x}{t}}}} $$
La célérité devient une fonction à double paramètre. Ici \(x\) et \(t\).
On peut imaginer un évènement (un endroit) dans l'espace-temps.
Nous plaçons notre référentiel \({\mathcal{R}}\) au niveau du point initial du Big Bang.
La position dans l'espace ou le temps de notre évènement est \(x\) et \(t\).
Si le temps n'existe pas (il est alors nul, c-à-d : \(t\) = 0) alors la célérité est impossible.
En effet on ne peut pas (mathématiquement) diviser par 0.
Effectivement \(c(x, t)\) peut devenir une constante (ou un invariant) si (et uniquement) \(t\) = \(x\).
C'est-à-dire que \(c\) est une constante uniquement dans le présent visible (ou accessible).
Rappel :
$$ {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\operatorname {Signe}(x)={\begin{cases}-1&{\text{si }}x<0\\0&{\text{si }}x=0\\1&{\text{si }}x>0\end{cases}}} $$
6 possibilités pour \(x\) et \(t\) :
On considère que l'observateur regarde dans la direction de l'objet étudié.
[ \(x_{objet}\) : la position où se situe l'objet étudié ]
[ \(t_{objet}\) : la position temporelle où se situe l'objet étudié ]
[ \(D_{\Delta} = x_{observateur} - x_{objet} \) : ligne scalaire d'univers spatiale (c'est la distance entre l'objet et l'observateur) ]
Si \(\small \operatorname {Signe}(D_{\Delta}) = 1\) alors l'observateur regarde en direction du point
initiale du Big Bang.
Si \(\small \operatorname {Signe}(D_{\Delta}) = -1\) alors l'observateur regarde en direction opposée du point initiale du Big Bang.
Si \(\small \operatorname {Signe}(D_{\Delta}) = 0\) alors l'observateur est extremement proche de l'objet étudié.
[ \(x_{observateur}\) : la position où se situe l'observateur ]
[ \(t_{observateur}\) : la position temporelle où se situe l'observateur ]
[ \(T_{\Delta} = t_{observateur} - t_{objet} \) : ligne scalaire d'univers temporelle (c'est la différence d'âge entre l'objet et l'observateur) ]
Si \(\small \operatorname {Signe}(T_{\Delta})= 1\) alors l'observateur est plus vieux que l'objet étudié. \(\small Age(observateur) > Age(objet)\)
Si \(\small \operatorname {Signe}(T_{\Delta})= -1\) alors l'observateur est plus jeune que l'objet étudié. \(\small Age(objet) > Age(observateur)\)
Si \(\small \operatorname {Signe}(T_{\Delta}) = 0\) alors l'observateur et l'objet ont été créés en même temps.
[ \(\eta\) : la durée d'émission du photon depuis qu'il a été émis depuis l'objet étudié vers les yeux de l'observateur ]
[ \(c\) : la vitesse d'émission du photon étudiée dans les différent cas présentés ]
[ \(\mathcal{R}\) : l'unique référentiel (galiléen) placé au niveau du Big Bang ]
[ \((x, t, \eta, c) \in [0, +\infty] \) les mesures sont en effet sans dimensions et sans unités de mesure]
[ \((D_{\Delta} , T_{\Delta} ) \in [-\infty, +\infty] \) ]
Premier cas (le système n'existe pas encore) :
[ \((x_{obj} = 0)\) le lieu initial du Big Bang ]
[ \((t_{obj} = 0)\) la position temporelle et initiale du Big Bang (l'univers n'a encore rien enduré) ]
[ \((\eta = 0)\) la durée nulle d'émission du photon depuis qu'il a été émis depuis le Big Bang, nulle car l'observateur n'existe pas encore ]
[ \((c_{BigBang} = non \, existante)\) (ou impossible) la vitesse d'émission du photon depuis qu'il a été émis depuis le Big Bang, non existante car le Big Bang est à la base un petit point (volume et temps n'existent pas) ]
Deuxième cas (le système existe mais pas d'altération) :
On considère que l'observateur est maintenant très éloigné du Big Bang.
Les deux entités suivent un mouvement inertiel.
[ \((x_{objet} \simeq \Delta_{obj})\) le lieu où se situe l'objet (dans l'espace 3D) étudié ]
[ \((x_{observateur} \simeq \Delta_{obs})\) le lieu où se situe l'observateur (dans l'espace 3D) ]
[ \((t_{objet} \simeq \Lambda_{obj})\) la position temporelle endurée par l'objet étudié ]
[ \((t_{observateur} \simeq \Lambda_{obs})\) la position temporelle endurée par l'observateur ]
[ \((\eta \simeq \Delta_{\eta} = \tau_{observateur})\) la durée d'émission scalaire du photon depuis qu'il a été émis depuis l'objet étudié vers les yeux de l'observateur ]
[ \(( c_{observateur} = 0)\) la vitesse de l'observateur est considérée nulle. L'observateur occupe une position constante \((x_{observateur} = X_{obs})\).
[ \(( c_{objet} = 0)\) la vitesse de l'objet étudié est considérée nulle. L'objet occupe une position constante \((x_{objet} = X_{objet})\).
[ \((c_{photon} = \frac {|X_{obj} - X_{obs}|}{\tau_{observateur}})\) la vitesse d'émission du photon émis depuis l'objet vers l'observateur ]
Le terme \(\tau_{observateur}\) équivaut au temps d'attente (montre en main) fait par l'observateur pour voir enfin l'objet étudié.
Troisième cas (le système existe mais a subi une altération) :
On considère que \((x_{i} \leq +\infty)\) et que \((t_{i} \leq +\infty)\)
[ \((x_{objet} = \Delta_{obs} + \alpha)\) le lieu où se situe l'objet étudié mais déplacé beaucoup plus loin de \(\alpha\) de distance
de l'observateur ]
[ \((x_{observateur} = \Delta_{obj} + \alpha)\) le lieu où se situe l'observateur mais qui s'est déplacé beaucoup plus loin de \(\alpha\) de distance par rapport à l'objet ]
[ \((t_{observateur} = \Lambda_{observateur} + \tau_{observateur})\) la position temporelle de l'observateur mais en patientant un certain temps (encore montre en main) \(\tau_{observateur}\) arbitraire avant toute mesure effectuée ]
[ \((t_{objet} = \Lambda_{objet} + \tau_{objet})\) la position temporelle de l'objet étudié mais qui a enduré (seul) un certain temps \(\tau_{objet}\) arbitraire avant toute mesure effectuée ]
[ \((\eta \leq \Omega)\) la durée d'émission limite (maximale) possible du photon depuis qu'il a été émis depuis l'objet étudié vers les yeux de l'observateur. C'est-à-dire le temps maximal que l'observateur peut attendre avant d'abandonner l'expérience ]
- présent visible : \(t = \Delta_{2}\) et \(\eta \leq +\infty\) (l'observateur sur Terre voit un mobile se mouvoir et qui est proche de lui)
- futur visible : \(t \in \,\,]\Delta_{2}, +\infty.0]\) et \(\eta \leq +\infty\) (l'observateur voit une galaxie plus agée et très lointaine de lui)
- passé visible : \(t \in [0, \Delta_{2}[\) et \(\eta \leq +\infty\) (l'observateur sur Terre voit le fond diffus cosmologique proche du Big Bang)
- présent invisible : \(t \ne x\) et \(t > 1\)
- futur invisible : \(t > 1\) et \(x > 1\)
- passé invisible : \(t > 1\) et \(x < 1\)
Formule rapide : \(v = \frac{d}{t}\)
Formule rapide : \(t = \frac{d}{v}\)
Formule rapide : \(\eta = \frac{x}{c}\)
Formule rapide : \(1 = \frac{x}{c} \iff c = x \)
proche de l'observateur ??
